Научный журнал
Научное обозрение. Экономические науки
ISSN 2500-3410
ПИ №ФС77-57503

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Меерсон А.Ю. 1 Черняев А.П. 2
1 Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова
2 Московский физико-технический институт (государственный университет)
Рассматриваются вариационные постановки задач оптимального управления для функций потребления классических макроэкономических моделей Харрода–Домара с переменным коэффициентом капиталоемкости прироста дохода, зависящем от времени и Солоу в случае, когда коэффициенты дифференциального уравнения для фондовооруженности являются переменными функциями. Полученные результаты для решений задач Коши, состоящих из дифференциальных уравнений моделей макроэкономической динамики Харрода–Домара и Солоу и начальных условий, в случае переменных коэффициентов уравнений гораздо важнее тех же решений для постоянных коэффициентов в силу более широкой практической применимости. Однако, эти решения намного сложнее. В настоящем обзоре мы убеждаемся, что для очень важной задачи минимизации интегральной дисконтированной полезности потребления это увеличение сложности полученных ранее решений не является непреодолимой помехой для реализации указанных постановок. Несмотря на то, что решения задач намного сложнее, однако, они достаточно успешно реализованы. В настоящем обзоре показано, что трудности, возникающие в результате усиленных постановок успешно преодолеваются.
оптимальное управление
потребление
макроэкономика
модели экономической динамики
функция полезности.
1. Гуриев С.М., Поспелов И.Г. Модель общего равновесия экономики переходного периода // Математическое моделирование. – 1994. – Т. 6, № 2. – С. 3-21.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник. – М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1998. – 368 с.
3. Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 240 с.
4. Малыхин В.И. Математика в экономике: учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 356 с. – Серия «Высшее образование».
5. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Вариационная задача оптимизации потребления модели экономической динамики Харрода-Домара с переменным коэффициентом капиталоемкости прироста дохода // Труды вольного экономического общества России. – М., 2014. – Т. 186. – С. 502-506.
6. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Вариационная задача оптимизации среднедушевого потребления модели Солоу для уравнения с переменными коэффициентами, описывающего фондовооруженность // Менеджмент и Бизнес-Администрирование. – М., 2015. – № 3. – С. 127-131.
7. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Интегральный метод исследования переходного режима в модели Солоу // Экономика природопользования. – 2010. – № 3. – С. 105-108.
8. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Интегральное уравнение переходного режима в модели Солоу // Вестник МГУП. – М.: МГУП, 2010. – № 4. – С. 270-274.
9. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Особенности рабочего режима макроэкономической модели Харрода-Домара с показателем потребления растущим в постоянном темпе // Вестник МГУП. – М.: МГУП, 2012. – № 3. – С. 188-192.
10. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Точное решение задачи Коши для дифференциального уравнения макроэкономической модели Харрода-Домара с переменным коэффициентом капиталоемкости прироста дохода // Вестник МГУП. – М.: МГУП, 2013. – № 3. – С. 252-255.
11. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Точное решение задачи Коши для дифференциального уравнения макроэкономической модели Харрода-Домара с переменным коэффициентом приростной капиталоемкости // Известия МГТУ «МАМИ». – М.: МГТУ «МАМИ», 2013. – Т. 3. – Серия «Естественные науки». – С. 112-114.
12. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Точное решение задачи Коши для дифференциального уравнения модели экономической динамики Харрода-Домара с переменным коэффициентом приростной капиталоемкости: материалы международной научной конференции «Сщвременные проблемы математики, механики, информатики». – Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. – С. 87-89.
13. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Точное решение макроэкономической модели Харрода-Домара с экзогенной динамикой объема потребления произвольного характера // Известия Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. – 2011. – № 1. – С. 142-147.
14. Моделирование экономических процессов: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / под ред. Грачевой М.В., Фадеевой Л.Н., Черемных Ю.Н. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 351 с.
15. Петров Л.Ф. Методы динамического анализа экономики: учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2010. – 239 с.
16. Экономико-математическое моделирование: учебник / под общ. ред. профессора И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд-во «Экзамен», 2006. – 798 с.

Введение

Уравнение модели Харрода-Домара с экзогенной динамикой потребления произвольного характера – это дифференциальное уравнение первого порядка, в котором независимой переменной является время, а доход рассматривается, как сумма потребления и инвестиций [13, 15]. Основная предпосылка [2, с. 205] состоит в пропорциональности инвестиций и производной по времени от дохода с множителем, называемым коэффициентом капиталоемкости прироста дохода. До некоторых пор считалось, что этот коэффициент постоянен [2, 14], потому что решение дифференциального уравнения для этого случая известно [15, 9]. Однако, благодаря результатам работ [10, 11, 12] появилась возможность предположить, что коэффициент капиталоемкости прироста дохода есть переменная функция достаточно произвольного характера. Кроме этого, поставлена и решена задача оптимального управления, как задача максимизации интегральной дисконтированной полезности потребления [5], которая до результатов работ [10, 11, 12] могла быть решена лишь в случае постоянного коэффициента приростной капиталоемкости [1].

Модель макроэкономической динамики Солоу весьма популярна и уже стала классической в математической экономике [15, 3, 4, 16]. Уравнение модели макроэкономической динамики Солоу с переменными коэффициентами хорошо известно [3] – это дифференциальное уравнение первого порядка, и в котором независимой переменной является время, а искомой функцией является фондовооруженность. Модель Солоу сложнее предыдущей модели Харрода-Домара, т. к. сложнее именно это дифференциальное уравнение. Задача Коши для него лишь сводится к интегральному уравнению [7, 8]. Однако, несмотря на это усложнение по сравнению с предыдущей моделью, задача оптимального управления и в этой модели ставится, как максимизация интегральной дисконтированной полезности среднедушевого потребления [6], которая в этой же работе успешно решена.

Особенности вариационного метода решения задачи оптимизации потребления модели экономической динамики Харрода-Домара

Уравнение модели Харрода-Домара с экзогенной динамикой потребления произвольного характера [13, 15] имеет вид

missing image file (1.1).

Здесь missing image file – время, missing image file – доход, который рассматривается, как сумма потребления missing image file и инвестиций missing image file. Основная предпосылка [2, с. 205]:

missing image file,

где missing image file – коэффициент капиталоемкости прироста дохода.

До некоторых пор считалось, что [14]

missing image file. (1.2)

Для случая (1.2) решение дифференциального уравнения (1.1) известно [9] и дается формулой

missing image file. (1.3)

Здесь предполагаются выполненными начальные условия

missing image file, missing image file. (1.4)

В работах [10, 11, 12] делается наиболее общее предположение

missing image file. (1.5)

При условиях (1.4) и (1.5) решение дифференциального уравнения (1.1) будет даваться формулой (1.6) [10, 11, 12]:

Doc20.pdf,

Очевидно, (1.6) является обобщением (1.3).

Искомая задача оптимизации потребления ставится, как максимизация интегральной дисконтированной полезности потребления [5]:

missing image file, (1.7)

где u – функция полезности, а ? – коэффициент дисконтирования будущей полезности [1].

Вариационный метод решения задачи

Выражая потребление из уравнения (1.1) подставляем его в (1.7):

Doc20.pdf. (1.8)

Рассматривается разность J(Y + h) – J(Y), где h = h(t) – малое возмущение и устанавливается не положительность этой разности.

На основании (1.8) записываем (1.9):

missing image file

missing image filedt.

Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, имеем

missing image filemissing image file, (1.10)

где R(t) = o[h – B(t)h' ]2, при missing image file. (1.11)

Подставляя (1.10) и (1.11) в (1.9), получим (1.12):

missing image filedt + missing image file dt missing image file dt.

Пользуясь интегрированием по частям, мы можем записать

missing image filedt =

missing image file dh =

missing image file

Doc21.pdf.

Первое слагаемое правой части последнего равенства обращается в нуль, поскольку

missing image file. (1.13)

С учетом (1.13) предпоследнее равенство упрощается и будет иметь вид

missing image filedt =

Doc22.pdf.

Подставляя последнее в (1.12) будем иметь

Doc23.pdf

Doc23.pdf

Doc23.pdf

Doc23.pdf. (1.14)

Используя основную лемму вариационного исчисления, будем иметь (1.15):

Doc24.pdf.

С учетом (1.15) представление (1.14) упрощается и будет иметь вид

missing image file

missing image filedt +

Doc25.pdf. (1.16)

Заметим, что если в (1.16) h заменить на ?h, где b = const, то, т. к. в этом случае h? заменяется на ?h?, можно записать

missing image file

missing image filedt +

missing image file dt, (1.17)

где missing image file – остаточный член из формул, аналогичных формулам (1.10), (1.11):

missing image file

missing image file

missing image file, (1.18)

Doc26.pdf,

при missing image file. (1.19)

Из формул (1.18) и (1.19) следует, что при фиксированном h и b > 0 второе слагаемое правой части (1.17) есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем первое, если только первое слагаемое не равно нулю тождественно. Т. о., знак (1.17) полностью определяется отличным от тождественного нуля первым слагаемым правой части.

Будем считать, что полезность потребления оценивается монотонной функцией u(С), которая описывает относительное отвращение к риску по Эрроу-Пратту [1]. В силу этого u''(C(t)) ? 0, а значит первое слагаемое правой части равенства (1.16) неположительно. Следовательно, в силу (1.16) имеем

missing image file,

а значит (1.6) при (1.15) реализует максимум функционала (1.7), или, что то же самое (1.8) при условиях (1.13).

Особенности вариационного метода решения задачи оптимизации потребления модели экономической динамики Солоу

Модель макроэкономической динамики Солоу весьма популярна и уже стала классической в математической экономике [3, 4, 16]. Уравнение модели макроэкономической динамики Солоу с переменными коэффициентами [3] имеет вид

Doc29.pdf,

missing image file. (2.1)

Здесь missing image file – время, которое считается непрерывным и измеряется в годах, а missing image file – его начальный момент; missing image file – фондовооруженность; missing image file, где missing image file – доля выбывших за год основных производственных фондов, а missing image file – годовой темп прироста числа занятых; missing image file – коэффициент прямых затрат (доля промежуточного продукта в валовом общественном продукте); missing image file – норма накопления ( доля валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте; missing image file – народнохозяйственная производительность труда [3, с. 39-41]. Поскольку, для среднедушевого потребления имеется выражение [3, с. 41]

c = c(t) = (1 – ?)(1 – a)x =

= (1 – ?)(1 – a) f(k) (2.2)

то из (2.2) получаем

missing image file. (2.3)

Подставляя (2.3) в (2.1), будем иметь

Doc27.pdf. (2.4)

Выражая из (2.4) среднедушевое потребление, получим

Doc27.pdf, missing image file. (2.5)

Задача оптимального управления ставится, как максимизация интегральной дисконтированной полезности среднедушевого потребления:

missing image file, (2.6)

где u – функция полезности, а ? – коэффициент дисконтирования будущей полезности [3, с. 51, 3].

Вариационный метод решения задачи

Обозначив (2.6) за missing image file, получаем функционал, как объект максимизации

missing image file. (2.7)

Пользуясь, теперь, выражением (2.5) из (2.7) получим:

Doc28.pdf. (2.8)

Нам достаточно рассмотреть разность J(k + h) – J(k), где h = h(t) – малое возмущение и показать неположительность этой разности.

На основании (2.8), пользуясь линейностью интеграла, можно записать

missing image file

Doc28.pdf. (2.9)

Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, имеем

missing image file

missing image file

missing image file (2.10)

где

missing image file (2.11)

при missing image file.

Подставляя (2.10) и (2.11) в (2.9), получим

missing image file

missing image filedt +

missing image filedt +

missing image filedt. (2.12)

Пользуясь интегрированием по частям, мы можем записать

missing image file dt =

missing image filedt =

missing image file

Doc30.pdf (2.12?)

Первое слагаемое правой части последнего равенства обращается в нуль, поскольку

missing image file. (2.13)

С учетом (2.13) предпоследнее равенство упрощается и будет иметь вид

missing image filedt =

Doc31.pdf.(2.12??)

Подставляя (2.12??) в (2.12) будем иметь

missing image file

Doc31.pdf

Doc31.pdf

missing image filedt +

missing image file dt. (2.14)

Используя основную лемму вариационного исчисления, будем иметь

missing image file

Doc32.pdf. (2.15)

С учетом (2.15) представление (2.14) упрощается и будет иметь вид

missing image file

missing image filedt +

missing image filedt. (2.16)

Заметим, что если в (2.16) h заменить на ?h, где b = const, то, т. к. в этом случае h? заменяется на ?h?, можно записать

missing image file

missing image filedt +

missing image filedt, (2.17)

где missing image file– остаточный член из формул, аналогичных формулам (2.10), (2.11):

Doc33.pdf

Doc33.pdf

Doc33.pdf (2.18)

Doc33.pdf (2.19)

при

missing image file.

Из формул (2.18) и (2.19) следует, что при фиксированном h и b ® 0 второе слагаемое правой части (2.17) есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем первое, если только первое слагаемое не равно нулю тождественно. Т. о., знак (2.17) полностью определяется отличным от тождественного нуля первым слагаемым правой части.

Будем считать, что полезность потребления оценивается монотонной функцией u(c), которая описывает относительное отвращение к риску по Эрроу-Пратту [1]. В силу этого u?(c(t)) ? 0, а значит первое слагаемое правой части равенства (2.16) не положительно. Следовательно, в силу (2.16) имеем

missing image file, (2.20)

а, значит, в силу (2.20), решение задачи (2.1) [7, 8] с уравнением в форме (2.4) при (2.15) реализует максимум функционала (2.6), или, что то же самое (2.7), при условиях (2.13) [6].

Выводы

В настоящем обзоре приводится и обсуждается вариационный метод решения задач оптимального управления для классических макромоделей экономической динамики. В качестве примеров макромоделей выбраны наиболее популярные: Харрода–Домара и Солоу. В качестве задачи оптимального управления выбрана задача максимизации интегральной дисконтированной модели потребления. Несмотря на то что модели разные, а именно: в случае модели Харрода–Домара уравнение связи допускает хотя и сложное, но точное решение, а в случае модели Солоу задача Коши для уравнения связи лишь эквивалентна интегральному уравнению, предложенный вариационный метод решения достаточно эффективен. В настоящем обзоре рассматривается самый общий случай уравнения связи, когда коэффициенты этого уравнения переменные функции достаточно произвольного характера. Эти случаи рассматриваемых макроэкономических моделей с переменными коэффициентами в уравнениях связи с практической точки зрения гораздо важнее аналогичных решений для задач с постоянными коэффициентами в силу более широкой практической применимости. Однако, эти решения намного сложнее. В настоящем обзоре мы убеждаемся, что для очень важной задачи минимизации интегральной дисконтированной полезности потребления это усиление сложности решений не является непреодолимой помехой для реализации рассматриваемого вариационного метода. Решение задачи будет намного сложнее, однако, оно достаточно успешно реализуется. Трудности, возникающие в результате усиленной постановки, успешно преодолеваются.


Библиографическая ссылка

Меерсон А.Ю., Черняев А.П. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ // Научное обозрение. Экономические науки. – 2016. – № 2. – С. 146-151;
URL: https://science-economy.ru/ru/article/view?id=802 (дата обращения: 16.08.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074